+) Giải phương trình, biểu diễn các họ nghiệm trên đường tròn lượng giác.

+) Xác định các điểm và tính diện tích đa giác đó.

Cách giải:

Biểu diễn hai họ nghiệm trên trên đường tròn lượng giác ta được

4 điểm A, B, C, D như sau:

Chú ý: Chú ý đối chiếu điều kiện xác định để loại nghiệm.

sin 2   x   -   cos 2   x   =   cos 4 x   ⇔   - cos 2 x   =   cos 4 x   ⇔   2 cos 3 x . cos x   =   0

ĐK: \(x\ne\dfrac{\pi}{4}+k\pi;x\ne\dfrac{k\pi}{2}\)

\(\dfrac{2sin^2x+cos4x-cos2x}{\left(sinx-cosx\right)sin2x}=0\)

\(\Leftrightarrow2sin^2x+cos4x-cos2x=0\)

\(\Leftrightarrow2sin^2x-1+cos4x-cos2x+1=0\)

\(\Leftrightarrow2cos^22x-2cos2x=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos2x=0\\cos2x=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\\2x=k2\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\\x=k\pi\end{matrix}\right.\)

Đối chiếu điều kiện ta được \(x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi\)

1.

\(2cos4x-3=0\)

\(\Leftrightarrow cos4x=\dfrac{3}{2}\)

Mà \(cos4x\in\left[-1;1\right]\)

\(\Rightarrow\) phương trình vô nghiệm.

2.

\(cos5x+2=0\)

\(\Leftrightarrow cos5x=-2\)

Mà \(cos5x\in\left[-1;1\right]\)

\(\Rightarrow\) phương trình vô nghiệm.

3.

\(cos2x+0,7=0\)

\(\Leftrightarrow cos2x=-\dfrac{7}{10}\)

\(\Leftrightarrow2x=\pm arccos\left(-\dfrac{7}{10}\right)+k2\pi\)

\(\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{arccos\left(-\dfrac{7}{10}\right)}{2}+k\pi\)

4.

\(cos^22x-\dfrac{1}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow cos^22x=\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos2x=-\dfrac{1}{2}\\cos2x=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi\\2x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\pm\dfrac{\pi}{3}+k\pi\\x=\pm\dfrac{\pi}{6}+k\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow2cos^2x-1+2cosx-\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}cosx\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2cos^2x+\dfrac{5}{2}cosx-\dfrac{3}{2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=\dfrac{-5+\sqrt{73}}{8}\\cosx=\dfrac{-5-\sqrt{73}}{8}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x=\pm arccos\left(\dfrac{-5+\sqrt{73}}{8}\right)+k2\pi\)

\(VT=\left(cos2x-cos4x\right)^2=\left(-2cos^22x+cos2x+1\right)^2\le\left(\dfrac{9}{8}\right)^2\\ VP=6+2sin3x\ge4\\ \rightarrow VT< VP\)

Suy ra phương trình vô nghiệm.

Vậy các nghiệm thuộc khoảng  - π ;   π của phương trình là 

\(\Leftrightarrow2cos4x.cos2x+cos4x=\frac{1}{2}cos2x\left(cos4x+cos2x\right)+2\)

\(\Leftrightarrow3cos4x.cos2x+2cos4x=cos^22x+4\)

\(\Leftrightarrow3cos2x\left(2cos^22x-1\right)+2\left(2cos^22x-1\right)=cos^22x+4\)

\(\Leftrightarrow2cos^22x+cos^22x-cos2x-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(cos2x-1\right)\left(2cos^22x+3cos2x+2\right)=0\)